称球问题十几年前就在深圳的一网情深BBS上成为热门问题，此后的十余年间不断有人提起此问题，前段时间还在网上看到有人重新提起此问题，已经成为了新网民的入门级必知必会问题之一。

称球问题一般会有以下 3 种情况：
1 、M个球，其中有一个坏球，知道是轻还是重，用天平称出坏球来。
2、M个球，其中有一个坏球，不知是轻还是重，用天平称出坏球来。
3、M个球，其中有一个坏球，不知是轻还是重，用天平称出坏球来，并告知坏球是轻还是重。
现在要问对于上面3种情况，称k次，最多可以在几个球中找出坏球来？也就是要求出称k次的M的最大值来。

第 1 种情况，比较简单， 1 次可以称 3 个球， 2 次可称 9 个球， k 次可以称 3^k （ 3 的 k 次方）个球。

第 2 种情况就比第 1 种情况复杂多了， 对第 3 种情况，和第 2 种情况类似，知道了第 2 种的解法后，第 3 种自然也就解出来了。

任意个数球的称法

假设有足够正常重量球的情况下称k次可以从最多F(k)个球里找出不知轻重的坏球（称多次的情况下，称完第一次就会有若干正常重量的球了），现在来计算称k+1次的F(k+1)最大可以到多少，在有足够正常重量球的情况下，0次可以称出1个球，1次可以称出2个球。因此F(0)=1，F(1)=2。

按照测试用例设计的元素分析法，先找出其中的元素：天平，若干球

先分析一下这些元素的属性，天平有两端托盘可以放东西，可以根据天平平衡情况判断天平两端放的东西重量是否相等。球的属性主要是重量，正常球重量都相等，坏球重量和正常球不相等。

再用测试用例设计的分类推理法来进行分类，按球的属性是无法分类的，因为每个球的重量都不知道，因此按天平属性来进行分类，可以将球分为三类，放在天平左端托盘中的，放在天平右端托盘中的，没有放入天平托盘的。

任何一个球最终都可以归结到上面分成的三类中，不论将球分成多少堆，最终都可以将其看成只有三堆，一堆要放入天平左端托盘中，一堆要放入天平右端托盘中，一堆不放入天平托盘中。所以分成了 X ， Y ， Z 三堆（某堆可以为空）可以看成是唯一的分法。

将F(k+1)个球分成X，Y，Z三堆，先将X，Y放入天平的两端称一下，由于对成性，只需要考虑两种情况：

1 、 X 和 Y一样重

此时只要在 Z 堆中找出坏球就可以了， Z=F(k) 。

2 、 X 比 Y 重

在称完第 1 次后，此时可以再次使用元素分析法，找出四个元素：天平， X ， Y ， Z

和前面一样可以采用分类推理法根据天平元素的属性将 X 分成 X1 ， X2 ， X3 ； Y 分成 Y1 ， Y2 ， Y3 ； Z 分成 Z1 ， Z2 ， Z3 。由于对称性，可以按以下进行放置：

天平左端放置 X1 ， Y1 ， Z1

天平右端放置 X2 ， Y2 ， Z2

设 G(k) = X+Y

当 X1+Y1+Z1 比 X2+Y2+Z2 重时 ，无法判断是 Y2 中有坏球还是 X1 中有坏球，由于对称性，可以假定 Y2 为 0 （球个数为 0 ），那么就可以判断出 X1 中有坏球，且坏球比正常球重，此时 X1+Y2=3^(k-1) 。如果 X1 和 Y2 都不为 0 时，可以得到 X1+Y2=G(k-1) 。

当 X1+Y1+Z1 和 X2+Z2 重量相等时 ，表明坏球在 X3+Y3+Z3 中，由于此时无法判断坏球是在 X3 还是 Y3 中，如果令其中一个为 0 ，那么另一个则为已知重量情况下称 k － 1 次的最大个数，因此 X3+Y3 最大值为 3^(k-1) ，如果不为 0 ，则 X3+Y3=G(k-1) 。

当 X1+Y1+Z1 比 X2+Z2 轻时 ，由于此时无法判断坏球是在 Y1 还是 X2 中，并且 X2 比 Y1 重，这和 X 比 Y 重的情况是一样的，那么可以得出 X2+Y1 ＝ G(k-1) 或者 3^(k-1)

这时有 G(k) ＝ X+Y = 3^k

或者 G(k) ＝ X+Y = 3 × G(k-1)

对后面那个等式，可以求出 G(k) ＝ 3^(k-1) × G(1) ，由于 G(1) 的最大值不可能超过 3

综合上面两种情况， G(k) 取最大值 3^k

由于 Z 堆中球的最大个数是在 X 和 Y 一样重的情况下来求解的，因此这里 Z1 ， Z2 ， Z3 中的球的个数并不重要，前面已经讲过 Z = F(k)

这样可以得到 F(k ＋ 1) = X+Y+Z = X1+X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z

= F(k) +G(k)

=F(k) + 3^k

解出 F(k) = (3^k － 1) / 2 ＋ F(1) - (3 - 1)/2 = (3^k － 1) / 2 ＋ 1

这样求出了有足够标准球情况下称 k 次可以称出的最大值，在没有标准球的情况下，由于称 2 次只能称 4 个球，比有标准球时少一个，因此可以得出称 k 次可以称出的最大值为 max （ k ） ＝ (3^k － 1) / 2 。

这样 3 次可以称出 13 个球， 4 次可以称出 40 个球 …. 。

 

根据以上的推理过程，可以得出以下的称法：

2 次称 5 个球的称法（有标准球参照 ,F(2) = F(1)+3 = 2+3 = 5 ）

有标准球时 2 次称 5 个球的称法

将球编号为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ，标准球记为 S

将 1 ， 2 放入天平的一端， 3 ， S 放入天平的另一端

如果 1 ， 2 比 3 ， S 重 ，表明坏球在 1 ， 2 ， 3 中，此时将 1 ， 2 放入天平两端称一下，如果重量相等则 3 为坏球，如果不相等则重的那个是坏球。

同理如果 1 ， 2 比 3 ， S 轻时 ，将 1 ， 2 放入天平两端称一下，相等则 3 为坏球，不相等则轻的那个为坏球。

如果 1 ， 2 和 3 ， S 一样重 ，表明坏球在 4 ， 5 里面，取 4 和 S 一起称一下，相等则 5 为坏球，不相等则 4 为坏球。

 

3 次称 13 个球的称法（无标准球做参考）

将球分为（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ），（ 5 ， 6 ， 7 ， 8 ），（ 9 ， 10 ， 11 ， 12 ， 13 ）三组

将（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ）和（ 5 ， 6 ， 7 ， 8 ）放入天平两端称一下

如果重量相等 则转换为有标准球做参考在（ 9 ， 10 ， 11 ， 12 ， 13 ） 5 个球里找坏球的问题，上面已经给出了。

如果重量不等 ，由对称性不妨设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为重的一端

将（ 1 ， 5 ， 6 ， 7 ） 和   （ 8 ， 9 ， 10 ， 11 ）一起称一下

如果（ 1 ， 5 ， 6 ， 7 ）重，则表明坏球在 1 或 8 里面，只要拿一个标准球和 1 或 8 称一下就可以找出坏球

如果两边一样重 ，那么坏球在 2 ， 3 ， 4 里，且坏球为重球，称一次就可以称出

如果（ 1 ， 5 ， 6 ， 7 ）轻，那么坏球在 5 ， 6 ， 7 里面，且坏球为轻球，称一次就可以找出。